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비트 음색(Beat note)과 진폭 변조(AM, Amplitude Modulation)에 대하여.. 본문

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비트 음색(Beat note)과 진폭 변조(AM, Amplitude Modulation)에 대하여..

JellyJay 2010.08.11 01:32
이번 포스팅에서는 신호처리 책("Hello 신호처리")을 보며 기억해두고 싶은 부분을 써보고자 한다.

기본적인 AM 파형의 생성에 대한 글이라고 보면 되겠다.
그것을 위해 먼저 비트 음색이라는 현상을 설명하고,
같은 형식으로 만들어지는 AM에 대해 비교/설명 해보겠다.



비트 음색(Beat note)
이란..
서로 다른 주파수를 갖는 2개의 정현파으로 만들 수 있다.
마치 소리가 떨리는 듯한 현상을 말하는 것으로, 저주파(10Hz)부근과 1kHz 부근에서 잘 들린다.
아래의 소리를 재생해보면 5Hz1/2Hz의 주파수의 정현파 곱으로 생성된 비트 음색을 들어볼 수 있다.



5Hz와 1/2Hz로 이루어지는 비트 음색은 다음의 식으로 표현된다.



위의 식을 조금 고치면, 아래와 같다.



현재 식은 정현파들의 곱셈 형태이다. 그래서 곱셈을 통해 나타나게 될 신호의 주파수 성분을 바로 확인하기가 어려운 상태다.
위의 식을 덧셈의 형태로 분리해 표현할 수 있다면, 신호 x(t)의 스펙트럼을 그리기 위한 주파수 성분을 쉽게 알 수 있게 된다.
덧셈의 형태로 바꾸기 위해 위의 식을 역오일러 공식을 이용해 다시 표현하면..



이다. 이것을 다시 거꾸로 변환하면 다음의 식을 얻을 수 있다.



x(t)의 주파수 성분은 ±11π, ±9π [rad/sec] 이며, 이는 ±4.5, ±5.5 Hz이다.
(여기까지는 계산을 통한 주파수 분석을 설명하였다. 사실 이 과정은 AM에 대한 설명과는 큰 연관이 없다.ㅎㅎ
 그저 공부하는 학생의 연습일 뿐.... )


< 그림1. 비트 음색 x(t)의 파형(파란색 실선) >

그림1은 x(t)의 파형을 그린 그래프이다.
그림을 자세히 보면 낮은 주파수와 그것의 음(-)의 주파수로 만들어지는 파형을 기준선(빨간색 점선)으로
높은 주파수 파형의 peak가 만들어졌음을 볼 수 있다(파란색 실선).
파란색 실선이 beat note x(t)의 파형이다.
이러한 경계들의 신호, 즉 낮은 주파수로 인해 만들어진 경계를 신호의 포락선(envelop)이라 부른다.
(사실 위의 그림1에서 파란색 실선의 피크(peak) 점을 연결하여 그릴 수 있는 선을 포락선이라하는데,
 그 피크의 결정이 정현파의 곱에서 낮은 주파수를 갖는 정현파로 인해 결정되므로 같은 의미라고 본다.)


< 그림2. 곱셈되어지는 각각의 정현파(1/2Hz, 5Hz)를 그린 그래프>



진폭 변조(AM)는..
주파수 변조(FM, Frequency Modulation)와 함께 라디오 방송 변조 방법 중 하나이다.
기본적으로 방송전파 기본이 되는 반송파에 전달하려는 신호의 진폭에 따라 진폭을 변화시키는 방식으로,
비트 음색과 같은 방법으로 정현파의 곱에 의해 만들어진다.
하지만 아래의 식을 보면 다른점을 쉽게 알 수 있다.



앞서 보았던 비트 음색의 식과는 다르게 DC 성분(a)이 존재하고, 상수 a와 b의 관계는 a>b이어야 한다.
이는 그래프를 보면 좀 더 쉽게 구별할 수 있다.


 < 그림3. AM 파형 >

주목해서 보아야 할 것은 포락선이 "포락선이 0이 되는 점이 있는가" 이다.
비트 음색의 파형은 0을 통과하는 점들이 있지만, 진폭 변조 파형은 0이 되는 점이 없다.
이런 특징으로 비트 음색과 진폭 변조는 쉽게 구별이 가능하다.

zero crossing(0을 통과하는 것)이 없어야하는 이유는 정확히 모르겠으나,
일반적으로 어떻게(어떠한 식을 통해) AM을 만들어내는지 이해할 수 있었다.
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